عدد کورانت در شبیه سازی CFD چیست ؟

عدد کورانت در شبیه سازی CFD چیست ؟

عدد کورانت (کرانت) یک عدد بی بعدی است که به نام ریاضیدان ریچارد کورانت نامگذاری شده است. عدد Courant Number را می توان در شبیه سازی های دینامیک سیالات محاسباتی (CFD) برای بدست آوردن گام زمانی یک شبیه سازی گذرا بر اساس اندازه مش و سرعت جریان استفاده کرد.

فرمول عدد کورانت:

برای بدست آوردن عدد کورانت می توان بر اساس اندازه شبکه محاسباتی و سرعت سیال (در ورودی) از رابطه زیر استفاده کرد:

در فرمول بالا، U سرعت سیال و دلتا t و دلتا h به ترتیب گام زمانی و اندازه شبکه محاسباتی می باشند.

عدد کورانت بیانگر این است که در یک گام زمانی چه مقدار دیتا از چه تعداد سلول محاسباتی عبور کرده است. به عبارت دیگر، زمانی که عدد کورانت برابر با یک باشد منظور این است که در هر گام زمانی اطلاعات شبیه سازی از یک سلول محاسباتی عبور کرده است. اگر عدد کورانت برابر 10 باشد، جریان و اطلاعات در هر گام زمانی از 10 سلول محاسباتی عبور می کند.

عدد کرانت نقش مهمی در اجرای یک شبیه‌سازی CFD گذرا ایفا می‌کند، جایی که تغییرات جریان در زمان و مکان دارای اهمیت هستند. در نتیجه میتوان گفت که انتخاب گام زمانی در شبیه سازی های CFD به دو پارامتر عدد کورانت و همگرایی بستگی خواهد داشت.

اگر بخواهیم الزامات همگرایی را مورد بحث قرار دهیم می توان گفت که از دیدگاه عددی، گسسته سازی زمانی را می توان به طور کلی به سه روش صریح، ضمنی و نیمه ضمنی تقسیم کرد. در روش های صریح ، حل در مرحله زمانی n+1 با استفاده از مقادیر شناخته شده در زمان n محاسبه می شود. برعکس، در روش ضمنی، حل در زمان n+1 با استفاده از مقادیر مجهول در زمان n+1 محاسبه می‌شود، که در نتیجه به حل یک معادله دیفرانسیل معمولی ODE نیز نیاز خواهد بود. در نهایت، روشهای نیمه ضمنی از راه حل در زمان n و n+1 استفاده می کنند. برای همگرایی روش های صریح و همچنین روش های نیمه ضمنی، اندازه گام زمانی باید به دقت انتخاب شود، در غیر این صورت شبیه‌سازی ها ممکن است به نتایج غیرفیزیکی منجر شود یا واگرا شود.

به طور کلی برای همگرایی شبیه سازی ها بهتر است اندازه عدد کورانت حدود یک باشد. این شرط مخصوصا در صورت استفاده از روش صریح باید رعایت شود که به آن شرط CFL نیز می گویند. مشکل اصلی رعایت شرط CFL ایجاد شبیه‌سازی‌های طولانی و پرهزینه CFD است. روش های نیمه ضمنی و ضمنی این شرایط سختگیرانه CFL را کاهش می‌دهند و امکان استفاده از گام زمانی بزرگتر و عدد کورانت بالاتر از 1 را فراهم میکنند.

با این حال، در روش های ضمنی نیز نباید عدد کرانت بیش از حد بزرگ باشد، زیرا می‌تواند منجر به نتایج نادرست شود. از آنجایی که عدد کورانت به اندازه مش و همچنین گام زمانی مربوط می شود، کیفیت مش نیز بر روی آن تاثیر گذار است. مثلا، سلول‌های بسیار کوچک یا سلول‌هایی با اسکیونس بسیار بالا می‌توانند موجب افزایش خطا یا عدم همگرایی در زمان استفاده از گام زمانی بزرگ شود.

چگونه گام زمانی متناسب با شبیه سازی خود را انتخاب کنیم؟

از دیدگاه فیزیکی، گام زمانی نشان‌دهنده کوچک‌ترین واحد زمانی است که می‌خواهیم در شبیه‌سازی حل کنیم، بنابراین باید به گونه‌ای انتخاب شود که تمام پدیده های فیزیکی مهم در شبیه سازی در این گام زمانی حل شوند. در نتیجه هر نوع جریان یا فرآیندی که سریعتر از گام زمانی تغییر کند در شبیه سازی نمایش داده نخواهد شد. گام زمانی شبیه سازی به تعدادی از عوامل بستگی دارد که شامل اندازه هندسه، شرایط مرزی و ویژگی‌های جریان است. همچنین، نوع جریان یعنی آرام یا آشفته، یک عامل کلیدی است که باید در نظر گرفته شود، زیرا در یک جریان آشفته مقیاس های زمانی شبیه سازی به طور قابل توجهی کوچکتر از جریان آرام است.

فرض کنید می خواهید گردابه های ایجاد شده در نوک بال یک هواپیما را بررسی کنید. برای کپچر کردن این گردابه ها، اندازه مش باید بسیار کوچک در نظر گرفته شود. به علت سرعت بالای سیال در این شبیه سازی، جریان با سرعت بالایی از تعداد زیادی سلول محاسباتی عبور خواهد کرد. در نتیجه باید گام زمانی به اندازه ای کوچک انتخاب شود، که عدد کورانت این شبیه سازی در حدود یک باقی بماند. یعنی گام زمانی انقدر کوچک شود که در این شبیه سازی، سیال در هرگام زمانی فقط از حدود یک سلول عبور کند.

پس از انتخاب گام زمانی اولیه، می بایست با توجه به اندازه مش و سرعت سیال ، گام زمانی و عدد کورانت را ارزیابی کرد. همانطور که قبلاً بحث شد، حتی در روش های ضمنی، توصیه می‌شود شرط CFL برقرار باشد و  مقدار عدد کورانت حدود یک باشد.