روش صریح و ضمنی در شبیه سازی عددی | Implicit vs Explicit Numerical Methods

روش های حل عددی اغلب به دو صورت صریح (Explicit Method) یا ضمنی (Implicit Method) دسته بندی می شوند. هنگامی که محاسبه متغیرهای وابسته بر حسب کمیت های شناخته شده انجام شود، میتوان گفت که محاسبه صریح (Explicit Method) است.  در مقابل، هنگامی که متغیرهای وابسته توسط مجموعه های جفت شده از معادلات تعریف می شوند، و برای به دست آوردن جواب به یک روش ماتریسی یا تکراری نیاز است، گفته می شود که روش عددی ضمنی (Implicit Method) است.

برای نشان دادن تفاوت بین روش های ضمنی و صریح، می توان یک پالس فشار هوا را در یک لوله تصور کرد. اگر شبیه سازی گذرا مورد نظر باشد، باید از روش صریح برای ثبت حرکت و انعکاس امواج فشار در هر مرحله زمانی استفاده شود. اگر حالت پایدار مورد نظر باشد، برای رسیدن به شرایط نهایی باید از روش ضمنی با میرایی زیاد استفاده کرد.

تفاوت روش های صریح و ضمنی در شبیه سازی عددی و سیالاتی

اگر بخواهیم تفاوت روش های صریح و ضمنی را با استفاده از ریاضی توضیح دهیم میتوان گفت :

• در راه حل صریح (Explicit Method) ، پارامترها بر اساس مقادیر قبلی (به طور مثال گام زمانی قبلی) بدست می آید :

x(n+1) = x(n)+ z(n)

• در روش ضمنی (Implicit Method)، پارامترها در همان گام زمانی به یکدیگر وابسته هستند:

x(n+1) = x(n)+z(n+1)

 مزایا و معایب روش حل صریح (Explicit Method)

روش های صریح به صورت شرطی پایدار هستند، به این معنی که محدودیت هایی در اندازه گام زمانی برای حفظ ثبات عددی وجود دارد. مرحله زمانی باید به اندازه کافی کوچک انتخاب شود تا شرایط پایداری CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) را برآورده کند، که به فاصله شبکه و سرعت سیال بستگی دارد.  از جمله مزایا و معایب این روش میتوان به موارد زیر اشاره کرد:

1. پیاده‌سازی نسبتاً آسانی دارند.
2. برای مسائل با دینامیک سریع یا در مواردی که دقت بالایی لازم نیست، مناسب هستند.
3. مقدار محاسبات در هر گام زمانی نسبت به روش ضمنی کمتر است.

اما معایب استفاده از روش صریح در شبیه سازی های عددی میتوان به موارد زیر اشاره کرد:

1. محدودیت‌هایی در اندازه گام زمانی دارند و میبایست از گام زمانی نسبتا کوچکی برای همگرایی مناسب استفاده کرد از این رو میتوان گفت حجم محاسباتی شما در هنگام استفاده از این روش افزایش میابد.
2. ممکن است نیاز به تعداد زیادی گام داشته باشند تا به وضعیت پایدار برسند.

مزایا و معایب روش حل ضمنی (Implicit Method)

روش‌های ضمنی، از سوی دیگر، سیستمی از معادلات خطی یا غیرخطی را در هر گام زمانی حل می‌کنند. این روش ها تأثیر هر دو گام زمانی فعلی و آینده را در گام زمانی بعدی در نظر می گیرند. روش های ضمنی بدون قید و شرط پایدار هستند، به این معنی که محدودیت های سختی در اندازه گام زمانی ندارند.  از جمله مزایا و معایب این روش میتوان به موارد زیر اشاره کرد:

1. مناسب برای مسائل با فیزیک پیچیده، معادلات سخت، یا شبیه‌سازی‌های طولانی مدت.
2. اجازه می‌دهند از گام زمانی بزرگتری استفاده شود که ممکن است زمان محاسباتی را کاهش دهد.
3. تا حد زیادی از دقت و پایداری در مدل‌سازی و تحلیل پدیده‌های فیزیکی بهره‌مند هستند.

اما معایب استفاده از روش ضمنی در شبیه سازی های عددی میتوان به موارد زیر اشاره کرد:

1. نسبت به روش‌های صریح، حجم محاسباتی بالاتری را در هر گام زمانی دارند، چرا که معمولاً به حل سیستم‌های معادلاتی نیاز دارند که ممکن است زمان‌بر باشد.
2. پیاده‌سازی ممکن است به دلیل نیاز به حل سیستم‌های غیرخطی یا خطی به صورت مکرر، پیچیده‌تر باشد.

با توجه به توضیحات بالا انتخاب بین استفاده از روش های ضمنی و صریح را میتوان بر عهده کاربر و با توجه به شبیه سازی دانست.